Решите неравенство \(\log _{3} (1-x)-\log _{3} (1+x)+\log_{1+x}(1-x)-1\leqslant0\).

Решение

Найдём область определения неравенства:

\(\begin{cases} 1-x>0 \\ 1+x>0 \\ 1+x\neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \in (-1,1)\backslash\{0\}.\)

Рассмотрим \(\log_{1+x}(1-x) - 1\) и перейдём к основанию \(3\):

\begin{equation*}
\log_{1+x}(1-x) - 1 = \frac{\log_{3}(1-x)}{\log_{3}(1+x)}-1 = \frac{\log_{3}(1-x)-\log_{3}(1+x)}{\log_{3}(1+x)}.
\end{equation*}

Подставим полученное в исходное неравенство и вынесем общий множитель:

\begin{equation*}
(\log _{3} (1-x)-\log _{3} (1+x))\left(1+\frac{1}{\log_{3}(1+x)}\right)\leqslant0.
\end{equation*}

Перейдём к основанию \(1+x\) в \(\frac{1}{\log_{3}(1+x)}\),

\begin{equation*}
(\log _{3} (1-x)-\log _{3} (1+x))(\log_{1+x}(3+3x))\leqslant0
\end{equation*}

Используя \(\href{https://examp.info/theorem/metod-racionalizacii/}{\text{метод рационализации}}\) для логарифмических функций получим следующее неравенство:
\begin{equation*}
2(-2x)(2+3x)x\leqslant0.
\end{equation*}

Т.к. \(x \neq0\), поделим выражение на \(-4x^2\) и придём к

\begin{equation*}
2+3x \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant -\frac{2}{3},
\end{equation*}

что вместе с О.О.Н. даёт нам ответ:

\begin{equation*}
x \in (-\frac{2}{3},0) \cup (0,1).
\end{equation*}

Ответ: \(x \in (-\frac{2}{3},0) \cup (0,1)\).