В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(60^{\circ}\). На сторонах\(AB, BC, AC\) отмечены точки \(D\), \(E\), \(F\) соответственно. Радиус окружности, вписанной в треугольник \(ADF\), равен 1. Радиус окружности, вписанной в треугольник \(BDE\), равен \(2\). Найдите сторону \(AB\), если известно, что четырёхугольник \(DECF\) является ромбом.

Решение

Так как \(DECF\) - ромб, то \(DF\parallel CE\), \(DE\parallel CF\) и равны соответствующие углы \(\angle ACB = \angle AFD \), \(\angle ACB = \angle DEB \).

Поэтому же будут равны \(\angle ABC = \angle ADF \), \(\angle BAC = \angle BDE \).

Тогда треугольники \(DEB\) и \(AFD\) подобны по 3 признаку подобия (трём углам) с коэффициентом подобия \(2\), так как радиусы вписанных окружностей подобных треугольников пропорциональны с таким же коэффициентом.

Обозначим \(DE\) за \(2x\). Тогда \(DF = 2x, AF = x, BE = 4x.\)

По теореме косинусов в треугольнике \(DEB\):
\begin{equation*}
{BD}^2={DE}^2+{EB}^2-2\cdot DE\cdot EB\cdot \cos (\angle DEB) = 16x^2+4x^2-2\cdot \frac{1}{2}\cdot 2x\cdot 4x. \Rightarrow BD = 2x\sqrt{3}.
\end{equation*}

Для него выполнена обратная теорема Пифагора: \({BE}^2={BD}^2+{DE}^2 \Rightarrow \angle BDE = 90^{\circ}\).

Из подобия треугольников \(DEB\) и \(AFD\) \(AD\) будет равна \(x\sqrt{3}\) и \(\angle BDE = 90^{\circ}.\)

В прямоугольном треугольнике \(AFD\) воспользуемся формулой нахождения радиуса вписанной окружности: \(r = \frac{S}{p},\) где \(S\) \(-\) площадь треугольника, \(p\) \(-\) полупериметр треугольника.

В нашем случае \(r=1\), \(S=\frac{1}{2}\cdot x\sqrt{3}\cdot x\) и \(p = \frac{1}{2}\cdot(x+x\sqrt{3}+2x = \frac{1}{2}\cdot(3x+x\sqrt 3)\):

\begin{equation*}
1=\frac{\frac{1}{2}\cdot x\sqrt{3}\cdot x}{\frac{1}{2}\cdot(3x+x\sqrt 3)} = \frac{x\sqrt 3}{3+\sqrt{3}} \Leftrightarrow AD = x\sqrt{3}= 3+\sqrt{3}.
\end{equation*}
Сторона \(AB\) = \(BD + AD\Rightarrow AB = 3\cdot AD = 3\cdot(3+\sqrt{3}) = 9+3\sqrt{3}\).

Ответ: \(9+3\sqrt{3}\).