Медианы \(AP\) и \(BQ\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(D\). Найдите длину отрезка \(AB\), если \(CD = \sqrt{12}\) и известно, что вокруг четырехугольника \(PCQD\) можно описать окружность.

Решение

Пусть \(DP = x\) и \(AD = 2x\), а \(DQ = y\) и \(BD = 2y\) по теореме \(\href{https://examp.info/theorem/o-medianah/}{\text{о точке пересечения медиан}}\). Пусть \(\angle BQC = \alpha\), тогда \(\angle APC = 180^{\circ} - \alpha\), так как противоположные \(\href{https://examp.info/theorem/o-summe-protivopolozhnyh-uglov-vpisannogo-chetyryohugolnika/}{\text{углы вписанного четырехугольника}}\) в сумме равны \(180^{\circ}\). Тогда \(\angle APB = \angle BQC = \alpha.\) Угол \(B\) общий у треугольников \(BPD\) и \(BQC\). Они подобны по двум углам, значит имеет место: \(\dfrac{2y}{2BP} = \dfrac{BP}{3y} = \dfrac{x}{CQ}\), отсюда получим, что \(BP = y \sqrt{3}\), \(CQ = x \sqrt{3}\).
Пусть \(\beta = \angle ADB = \angle PDQ\) (углы равны так как вертикальные), тогда \(\angle ACB = 180^{\circ} - \beta\) (противоположные углы вписанного четырехугольника). Тогда \(\cos (\angle ADB) = - \cos (\angle ACB)\)
По \(\href{https://examp.info/theorem/cosinusov/}{\text{теореме косинусов}}\) в треугольнике \(ADB:\) \(\cos (\angle ADB) = \dfrac{-AB^2 + 4x^2 + 4y^2}{2 \cdot 2x \cdot 2y}\);
а в треугольнике \(ACB:\) \(\cos (\angle ACB) = \dfrac{-AB^2 + 12x^2 + 12y^2}{2 \cdot 2x \cdot 2y \cdot 3}\).
Следовательно: \[\frac{-AB^2 + 4x^2 + 4y^2}{2 \cdot 2x \cdot 2y} = - \frac{-AB^2 + 12x^2 + 12y^2}{2 \cdot 2x \cdot 2y \cdot 3}. \Leftrightarrow\]\[ \Leftrightarrow 12x^2 + 12y^2 - 3AB^2 = AB^2 - 12x^2 - 12y^2. \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow AB^2 = 6x^2 + 6y^2.\]
Проведем дополнительное построение. Построим параллелограмм \(ADBM,\) где \(BM\) параллельно \(AD\) и \(AM\) параллельно \(BD.\) Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения (\(L\)) делятся пополам и \(DL = \dfrac{1}{2} CD\), то \(DM = 2 DL = CD\). В параллелограмме \(ADBM\) \(\href{https://examp.info/theorem/o-storonah-parallelogramma/}{\text{сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей}}\): \[DM^2 + AB^2 = 2(AD^2 + BD^2) \Rightarrow AB^2 + 12 = 8x^2 + 8y^2.\] \[AB^2 = 6x^2 + 6y^2 = \frac{3}{4} (8x^2 + 8y^2) \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 4AB^2 = 3(8x^2 + 8y^2) = 3 (AB^2 + 12) \Leftrightarrow \]\[\Leftrightarrow AB^2 = 36 \Leftrightarrow AB = 6.\]

Ответ: \(6\).