В основании прямой призмы \(ABCA'B'C'\) лежит прямоугольный треугольник \(ABC\), такой что \(AC = BC = 1.\) На ребре \(A'B'\) верхнего основания (параллельном \(AB\)) отмечена точка \(D\), так что \(A'D:DB' = 1:2.\) Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр \(ABC'D\), если высота призмы равна 1.

Решение

В задаче будем применять \(\href{https://examp.info/theorem/metod-koordinat/}{\text{метод координат.}}\)
Обозначим объем тетраэдра \( ABC'D \), площадь его поверхности и радиус вписанной в него сферы, соответственно, как \( V, S, r.\) Тогда \( V = \frac{1}{3}rS \). Объем тетраэдра \( ABC'D \) равен объему тетраэдра \( ABCD \), поскольку \( CC' \parallel AA' \). Стало быть, \( V = 1/6 \) и

\[
r = (2S)^{-1}.
\]

Найдем \( S \). Обозначим площади граней тетраэдра \( ABC'D \) стандартным образом через \( S_{ABD}, S_{ABC}, S_{ADC}, S_{BDC} \). Площади треугольников \( ABD \) и \( ABA' \) равны, стало быть, \( S_{ABD} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), так как \( AB = \sqrt{2} \). Высота треугольника \( ABC' \), опущенная из вершины \( C' \), равна \( \sqrt{\frac{3}{2}} \), следовательно, \( S_{ABC'} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Чтобы найти \( S_{ADC} \), обозначим через \( \lambda \) отношение \( A'D \) к \( A'B' \). По условию \( \lambda = 1/3 \). Найдем косинус угла \( \varphi \) между нормалью к плоскости \( ADC' \) и прямой \( AA' \). Проведем через точку \( A' \) прямую, параллельную \( C'B' \), и обозначим точку пересечения этой прямой с прямой \( C'D \) через \( E \). Поскольку треугольники \( A'DE \) и \( B'DC' \) подобны и \( A'D : DB' = \lambda : 1 - \lambda \), получаем, что \( A'E = \frac{\lambda}{1 - \lambda} \). Стало быть, в системе координат с началом в точке \( A' \) и осями \( A'A, A'C', A'E \) вектор нормали к плоскости \( ADC' \) может быть записан как \( (1, 1, \frac{1 - \lambda}{\lambda}) \). Вектор же \( A'A \) имеет вид \( (1, 0, 0) \). Следовательно,

\[
\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{3 - \frac{2}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2}}} = \frac{\lambda}{\sqrt{3\lambda^2 - 2\lambda + 1}}.
\]

Площадь треугольника \( A'DC' \) относится к площади треугольника \( A'B'C' \), как \( \lambda \), то есть она равна \( \frac{\lambda}{2} \). Стало быть,

\[
S_{ADC'} = \frac{\lambda}{2 \cos \varphi} = \frac{1}{2\sqrt{3\lambda^2 - 2\lambda + 1}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}.
\]

Заметим, что из соображений симметрии \( S_{BDC'} \) получается из \( S_{ADC'} \) заменой \( \lambda \) на \( 1 - \lambda \), то есть

\[
S_{BDC'} = \frac{1}{2\sqrt{3(1 - \lambda)^2 - 2(1 - \lambda) + 1}} = \frac{1}{2}.
\]

Итак,

\[
S = S_{ABD} + S_{ABC'} + S_{ADC'} + S_{BDC'} = \frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{\frac{2}{3}}\right).
\]

Остается воспользоваться соотношением \( r = (2S)^{-1} \).

Ответ: \(\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{\frac 23} \right)^{-1}\).