Найти пределы:
\( 1) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{2}{n})^{3n}\);
\(2) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{n-3}{n})^\frac{n}{2}.
\)

Решение

\(
1) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{2}{n})^{3n} = \begin{vmatrix}
\frac{2}{n} = \alpha\\
n = \frac{2}{\alpha}\\
\end{vmatrix}=\)

\(= \lim\limits_{\alpha \rightarrow 0}(1 + \alpha)^\frac{3\cdot2}{\alpha} = e^6\)

\(2) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{n-3}{n})^\frac{n}{2} =
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{3}{n})^\frac{n}{2} = \begin{vmatrix}
\alpha = \frac{3}{n}\\
n = \frac{3}{\alpha}\\
\end{vmatrix}=\)

\(= \lim\limits_{\alpha \rightarrow 0} (1-\alpha)^\frac{3}{2\alpha} = e^\frac{3}{2}.\)

Ответ: \( 1) e^6\\ 2) e^\frac{3}{2} \).